【题目】如图所示几何体ABC﹣A1B1C1中,A1、B1、C1在面ABC上的射影分别是线段AB、BC、AC的中点,面A1B1C1∥面ABC,△ABC是边长为2的等边三角形.
(1)求证:△A1B1C1是等边三角形;
(2)若面ACB1A1⊥面BA1B1 , 求该几何体ABC﹣A1B1C1的体积;
(3)在(2)的条件下,求面ABC与面A1B1B所成的锐二面角的余弦值.
【答案】
(1)证明:如图,设A1,B1,C1在底面ABC上的射影分别为E,F,G,则A1E∥BF,
∵面A1B1C1∥面ABC,面面A1B1EF∩面ABC=EF,∴A1B1∥EF,
又E、F分别是线段AB、BC的中点,即AC∥EF,∴A1B1∥AC,且A1B1= AC,
同理,A1C1= ,B1C1= ,
∵△ABC是等边三角形,∴△A1B1C1是等边三角形
(2)解:设A1E=h,取A1B1的中点K,∵A1B= =BB1,∴BK⊥A1B1,
又面ACB1A1⊥面BA1B1,∴BK⊥面ACB1A1,即BK⊥GK,
由题意得 ,BK=GK= ,
∵BG= ,∴h= ,
∴该几何体ABC﹣A1B1C1的体积:
= +3
= =
(3)解:过B作AC的平行线l,则l为面ABC与面A1B1B的交线,
分别取A1B,AC的中点K,G,
则BK⊥A1B1,BG⊥AC,
∵A1B1∥AC∥l,∴∠KBG是面ABC与面A1B1B所成的锐二面角的平面角,
∵BK⊥KG,∴cos∠KBG= = = ,
∴面ABC与面A1B1B所成的锐二面角的余弦值为 .
【解析】(1)设A1 , B1 , C1在底面ABC上的射影分别为E,F,G,则A1E∥BF,推导出A1B1= AC,A1C1= ,B1C1= ,由此能证明△A1B1C1是等边三角形.(2)设A1E=h,取A1B1的中点K,由 = +3 ,能求出该几何体ABC﹣A1B1C1的体积.(3)过B作AC的平行线l,则l为面ABC与面A1B1B的交线,分别取A1B,AC的中点K,G,则∠KBG是面ABC与面A1B1B所成的锐二面角的平面角,由此能求出面ABC与面A1B1B所成的锐二面角的余弦值.
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【题目】已知函数f(x)= ,曲线y=f(x)在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行.
(1)若函数g(x)= f(x)﹣ax在(1,+∞)上是减函数,求实数a的最小值;
(2)若函数F(x)=f(x)﹣ 无零点,求k的取值范围.
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【题目】已知f(x)=,x∈(-2,2).
(1) 判断f(x)的奇偶性并说明理由;
(2) 求证:函数f(x)在(-2,2)上是增函数;
(3) 若f(2+a)+f(1-2a)>0,求实数a的取值范围.
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【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2014 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: = , = ﹣ .
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【题目】已知不过第二象限的直线l:ax-y-4=0与圆x2+(y-1)2=5相切.
(1)求直线l的方程;
(2)若直线l1过点(3,-1)且与直线l平行,直线l2与直线l1关于直线y=1对称,求直线l2的方程.
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