Question

19．已知tan（$\frac{π}{6}$-α）=-2，α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，则sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$+$\sqrt{3}$cos²$\frac{α}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=（　　）

• A． -$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• B． -$\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+$\frac{π}{3}$）和sin（α+$\frac{π}{3}$）的值，在利用三角恒等变换化简要求的式子为 sin（α+$\frac{π}{3}$），从而得出结论．

解答 解：∵tan（$\frac{π}{6}$-α）=cot（$\frac{π}{3}$+α）=$\frac{cos（α+\frac{π}{3}）}{sin（α+\frac{π}{3}）}$=-2，α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴α+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$，π]．
再结合${sin}^{2}（α+\frac{π}{3}）$+${cos}^{2}（α+\frac{π}{3}$）=1，∴cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
则sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$+$\sqrt{3}$cos²$\frac{α}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα=sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故选：C．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，属于中档题．