Question

若x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域是（　　）

• A、[-1，+∞）
• B、[-1，

  2

  ]
• C、（0，

  2

  ]
• D、（1，

  2

  +

  1

  2

  ]

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：本题可以利用换元法，得到一个二次函数，再根据条件，求出新变量的取值范围，然后求出二次函数在区间上的值域，得到本题结论．

解答： 解：设t=sinx+cosx，
则t²=1+2sinxcosx，
y=f(t)=

1

2

t2+t-

1

2

．
t=

2

sin(x+

π

4

)．
∵x是三角形的最小内角，
∴0＜x≤

π

3

，
∴

π

4

＜x+

π

4

≤

7π

12

，
∴t∈（1，

2

]．
∵f（t）=

1

2

t2+t-

1

2

在（1，

2

]上单调递增，
∴f(1)＜f(t)≤f(

2

)，
∴f（t）∈（1，

1

2

+

2

]．
故选D．

点评：本题考查了同角三角函数的基本关系式、二次函数在区间上的值域和换元法，本题难度不大，属于基础题．