Question

（1）过点P（2，4）向圆O：x²+y²=4作切线，求切线的方程；
（2）求过点（5，2）且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,直线的截距式方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）设切线方程为x=a（y-4）+2，与圆x²+y²=4联立消x得，（a²+1）y²+（4a-8a²）y+16a²-16a=0，从而求a；
（2）过原点时成立，别设直线方程为y=k（x-5）+2，从而求截距可得．

解答： 解：（1）由题意，设切线方程为x=a（y-4）+2；
与圆x²+y²=4联立消x得，
（a²+1）y²+（4a-8a²）y+16a²-16a=0，
△=（4a-8a²）²-4（a²+1）（16a²-16a）=0，
解得，a=0或a=

4

3

；
故切线方程为x-2=0或3x-4y+10=0；
（2）当过点（5，2）及点（0，0）时，成立；
此时，直线的方程为2x-5y=0；
设过点（5，2）的直线方程为y=k（x-5）+2；
令x=0得，y=2-5k，令y=0得，x=5-

2

k

；
故5-

2

k

=2（2-5k），
解得，k=-

1

2

；
故直线方程为y=-

1

2

（x-5）+2；
直线方程可化为x+2y-9=0．

点评：本题考查了直线与圆的方程的应用及截距的应用，属于中档题．