Question

【题目】如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC=200m，斜边AB=400m，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F．

（1）若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；
（2）设∠CEF=θ，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且∠DEF= ，请将甲乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，BD=300，BE=100，

△ABC中，cosB= ，B= ，

△BDE中，由余弦定理可得DE= =100 m；

（2）解：由题意，EF=2DE=2y，∠BDE=∠CEF=θ．

△CEF中，CE=EFcos∠CEF=2ycosθ

△BDE中，由正弦定理可得 = ，

∴y= = ，0 ，

∴θ= ，ymin=50 m．

【解析】（1）先在△ABC中求出B，再在△BDE中利用余弦定理可得DE，从而可得此时甲乙两人之间的距离；（2）先在△CEF中求出CE，再在△BDE中利用正弦定理可得甲乙之间的距离y表示为θ的函数，进而利用辅助角公式和三角函数的性质可得甲乙之间的最小距离．