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【题目】如图,在三棱柱中,已知侧面.

)求直线与底面所成角正切值;

)在棱(不包含端点)上确定一点E的位置,

使得(要求说明理由);

)在()的条件下,若,求二面角的大小.

【答案】(Ⅰ)2;()当E为中点时,,理由见详解;(Ⅲ)二面角的大小为45°.

【解析】

方法一:(Ⅰ) 可得为直线与底面ABC所成角,由已知可得的值;

)当E为中点时,,可得,即.可得平面ABE

)取的中点G的中点F,则,且,连结,设,连结,可得为二面角的平面角,可得二面角的大小.

方法二:(Ⅰ)B为原点,所在直线为轴建立空间直角坐标系.

,可得,面ABC的一个法向量,可得的值,可得的值;

)设,则,

,可得y的值,可得E的位置;

)可求得面的一个法向量

平面的一个法向量,可得二面角的大小.

解:()在直三棱柱平面ABC,

在平面ABC上的射影为CB.

为直线与底面ABC所成角,

即直线与底面ABC所成角的正切值为2.

)当E为中点时,.

,

,即.

平面平面.

平面ABE, 平面ABE .

)取的中点G的中点F,则,且

,连结,设,连结

,且

为二面角的平面角.

二面角的大小为45°.

另解:以B为原点,所在直线为轴建立空间直角坐标系.

.

,面ABC的一个法向量.

与面ABC所成角为,则

.

)设,则,

,得,所以E的中点.

)由,得,又,

可求得面的一个法向量

平面的一个法向量,

设二面角的大小为,则.

二面角的大小为45°.

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满意度

老年人

中年人

青年人

乘坐高铁

乘坐飞机

乘坐高铁

乘坐飞机

乘坐高铁

乘坐飞机

10(满意)

12

1

20

2

20

1

5(一般)

2

3

6

2

4

9

0(不满意)

1

0

6

3

4

4

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