【题目】如图,在三棱柱中,已知
,
,
侧面
.
(Ⅰ)求直线与底面
所成角正切值;
(Ⅱ)在棱(不包含端点)上确定一点E的位置,
使得(要求说明理由);
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若,求二面角
的大小.
【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ)当E为中点时,,理由见详解;(Ⅲ)二面角
的大小为45°.
【解析】
方法一:(Ⅰ) 可得为直线
与底面ABC所成角,由已知可得
的值;
(Ⅱ)当E为中点时,,可得
,即
.可得
,
平面ABE,
;
(Ⅲ)取的中点G,
的中点F,则
,且
,连结
,设
,连结
,可得
为二面角
的平面角,可得二面角
的大小.
方法二:(Ⅰ)以B为原点,所在直线为
轴建立空间直角坐标系.
则,可得
,面ABC的一个法向量
,可得
的值,可得
的值;
(Ⅱ)设,则
,
,
由,可得y的值,可得E的位置;
(Ⅲ)可求得面的一个法向量
,
平面的一个法向量
,可得二面角
的大小.
解:(Ⅰ)在直三棱柱,
平面ABC,
在平面ABC上的射影为CB.
为直线
与底面ABC所成角,
,
即直线与底面ABC所成角的正切值为2.
(Ⅱ)当E为中点时,.
,
,
,即
.
又平面
,
平面
.
,
平面ABE,
平面ABE ,
.
(Ⅲ)取的中点G,
的中点F,则
,且
,
,连结
,设
,连结
,
则,且
,
为二面角
的平面角.
,
,
∴二面角的大小为45°.
另解:以B为原点,所在直线为
轴建立空间直角坐标系.
则.
(Ⅰ),面ABC的一个法向量
.
设与面ABC所成角为
,则
,
.
(Ⅱ)设,则
,
,
由,得
,所以E为
的中点.
(Ⅲ)由,得
,又
,
可求得面的一个法向量
,
平面的一个法向量
,
设二面角的大小为
,则
.
∴二面角的大小为45°.
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【题目】第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行,中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务,要求每个人都要被派出去提供服务,且每个场地都要有志愿者服务,则甲和乙恰好在同一组的概率是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】设数列对任意
都有
(其中
、
、
是常数) .
(Ⅰ)当,
,
时,求
;
(Ⅱ)当,
,
时,若
,
,求数列
的通项公式;
(Ⅲ)若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当
,
,
时,设
是数列
的前
项和,
,试问:是否存在这样的“封闭数列”,使得对任意
,都有
,且
.若存在,求数列
的首项
的所有取值;若不存在,说明理由.
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【题目】高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从 市到
市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为
万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取
人次作为样本,得到下表(单位:人次):
满意度 | 老年人 | 中年人 | 青年人 | |||
乘坐高铁 | 乘坐飞机 | 乘坐高铁 | 乘坐飞机 | 乘坐高铁 | 乘坐飞机 | |
10分(满意) | 12 | 1 | 20 | 2 | 20 | 1 |
5分(一般) | 2 | 3 | 6 | 2 | 4 | 9 |
0分(不满意) | 1 | 0 | 6 | 3 | 4 | 4 |
(1)在样本中任取个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;
(2)在2018年从市到
市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取
人次,记其中老年人出行的人次为
.以频率作为概率,求
的分布列和数学期望;
(3)如果甲将要从市出发到
市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由.
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【题目】如图1,四边形为直角梯形,
,
,
,
,
,
为线段
上一点,满足
,
为
的中点,现将梯形沿
折叠(如图2),使平面
平面
.
(1)求证:平面平面
;
(2)能否在线段上找到一点
(端点除外)使得直线
与平面
所成角的正弦值为
?若存在,试确定点
的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图所示的几何体B-ACDE中,AB⊥AC,AB=4,AC=3,DC⊥平面ABC,EA⊥平面ABC,点M在线段BC上,且AM=.
(1)证明:AM⊥平面BCD;
(2)若点F为线段BE的中点,且三棱锥F-BCD的体积为1,求CD的长度.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数,
).在以坐标原点为极点、
轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
.
(1)若点在直线
上,求直线
的极坐标方程;
(2)已知,若点
在直线
上,点
在曲线
上,且
的最小值为
,求
的值.
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【题目】已知双曲线:
的右焦点为
,半焦距
,点
到右准线
的距离为
,过点
作双曲线
的两条互相垂直的弦
,
,设
,
的中点分别为
,
.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)证明:直线必过定点,并求出此定点坐标.
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