Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线与椭圆相交于两点，若的内切圆半径为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．

试题解析：（Ⅰ）由，所以，

将点的坐标代入椭圆方程得，

故所求椭圆方程为；

（Ⅱ）设直线的方程为,代入椭圆方程得，显然判别式大于0恒成立，设，的内切圆半径为，则有

，，

所以

而

所以解得,

因为所求圆与直线相切，所以半径=，

所以所求圆的方程为.