Question

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°
（I）试从上述三个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）选择（2）求常数相对容易，可直接利用二倍角正弦公式和同角三角函数平方关系结合特殊角三角函数值求得答案．
（II）根据（I）的计算结果，可得三角恒等式为：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

，进而根据两角差的余弦公式，展开化简后可得答案．

解答：解：（I）选择（2）为例：
sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-

1

2

sin30°=1-

1

4

=

3

4

…（4分）
（II）根据（Ⅰ）的计算结果，可得三角恒等式为：
sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

…（6分）
证明如下：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）
=sin²α+（

3

2

cosα+

1

2

sinα）²-sinα（

3

2

cosα+

1

2

sinα）
=

3

4

sin²α+

3

4

cos²α=

3

4

…（12分）

点评：本题考查的知识点是归纳推理，三角函数恒等式的证明，熟练掌握二倍角正弦公式和同角三角函数平方关系，特殊角三角函数值及两角差的余弦公式，是解答的关键．