A. | $\sqrt{3}$ | B. | $\sqrt{2}$ | C. | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | D. | $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ |
分析 根据弦切角定理,得到∠BAP=∠C,根据AC=AP得到∠APC=∠C,利用∠APC=∠C=∠BAP,再在△APC中根据直径BC得到∠PAC=90°+∠BAP,利用三角形内角和定理可得∠C.利用直角三角形中正切的定义,得到$\frac{CA}{AB}$=$\frac{1}{tan30°}$=$\sqrt{3}$.最后通过内角相等证明出△APC∽△BPA,从而$\frac{PC}{PA}$=$\frac{CA}{AB}$=$\sqrt{3}$.
解答 解:∵PA是切线,AB是弦,
∴∠BAP=∠C.
∵∠APC=∠BPA,
∵AC=AP,
∴∠APC=∠C
∴∠APC=∠C=∠BAP.
由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°.
∵BC是圆O的直径,
∴∠BAC=90°.
∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°.
∴∠C=∠APC=∠BAP=$\frac{1}{3}×90°$=30°.
在Rt△ABC中,$\frac{CA}{AB}$=$\frac{1}{tan30°}$=$\sqrt{3}$.
∵在△APC与△BPA中
∠BAP=∠C,∠APB=∠CPA,
∴△APC∽△BPA.
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{CA}{AB}$=$\sqrt{3}$,
∵AC=AP,∴$\frac{PC}{AC}$=$\sqrt{3}$.
故选:A.
点评 本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函数的定义和相似三角形的性质等知识点,属于中档题.找到题中角的等量关系,计算出Rt△ABC是含有30度的直角三角形,是解决本题的关键所在.
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A. | (0,1) | B. | (1,2) | C. | (2,+∞) | D. | (0,1)∪(2,+∞) |
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A. | a7 | B. | a8 | C. | a9 | D. | a10 |
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