Question

1．已知函数f（x）在定义域R上恒有：
①f（x）=f（-x），②f（2+x）=f（2-x），当x∈[0，4）时，f（x）=-x²+4x．
（1）求f（8）；
（2）求f（x）在[0，2015]内零点的个数．

Answer 1

分析 （1）f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），于是f（x）的周期为4．所以f（8）=f（0）=0．
（2）判断f（x）在一个周期内的零点个数和在区间[0，2015]上的周期数即可得出结论．

解答 解：（1）∵f（x）=f（-x），∴f（x）是偶函数，
∴f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），∴f（x）的周期为4．
∴f（8）=f（0）=0．
（2）$\frac{2015}{4}$=503+$\frac{3}{4}$．
∵f（x）在一个周期[0，4）内只有一个零点，且f（0）=0，
∴f（x）在[0，2015]内有504个零点．

点评 本题考查了函数奇偶性，周期性的应用，判断函数的周期是解题关键．