Question

如图所示，直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂，点N∈l₁，以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．

Answer 1

解：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点， 依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段， 其中A，B分别为C的端点， 设曲线段C的方程为y2=2px(p＞0)，(xA≤x≤xB，y＞0)， 其中xA，xB分别为A，B的横坐标，p=|MN|， 所以， 由得，① ， ② 由①②两式联立解得， 再将其代入①式并由p＞0，解得或， 因为△AMN是锐角三角形，所以，故舍去， 所以p=4，xA=1， 由点B在曲线段C上，得， 综上得曲线段C的方程为(1≤x≤4，y＞0)。