Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB₁，BC₁的中点，则以下结论不成立的是

①④

．
①EF与A₁C₁异面
②EF与BB₁垂直
③EF与BD垂直
④EF与CD垂直．

Answer 1

分析：连接A₁B，根据正方形对角线互相平分及三角形中位线定理，可得EF∥A₁C₁，进而判断①
根据正方体的几何特征，线面垂直的性质及异面直线夹角的定义，可判断②
根据正方形的对角线互相垂直，结合平行公理及①中结论，可判断③
根据异面直线夹角的定义，及①中结论，可判断④

解答：解：连接A₁B，易得A₁B过E点，且E为A₁B的中点，则EF∥A₁C₁，故①不成立；
由正方体的几何特征可得B₁B⊥面A₁B₁C₁D₁，又由A₁C₁?面A₁B₁C₁D₁，可得B₁B⊥A₁C₁，由①可得EF与BB₁垂直，即②成立；
由正方形对角线互相垂直可得AC⊥BD，∵EF∥A₁C₁，AC∥A₁C₁，∴EF∥AC，则EF与BD垂直，即③成立；
由①③中结论，EF∥AC，则∠ACD即为异面直线EF与CD所成的角，由∠ACD=45°，故EF与CD垂直，即④不成立
故答案为：①④

点评：本题考查异面直线的判定，考查空间想象能力，是基础题．