Question

（2009•上海模拟）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．
①对任意的x∈[0，1]，总f（x）≥0；
②当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂成立．
已知函数g（x）=x²与h（x）=a&•2^x-1是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程g（2^x-1）+h（x）=m（m∈R）解的个数情况．

Answer 1

分析：（1）对照定义，分别验证即可；
（2）由于函数h（x）是G函数，对照定义分类讨论：若a＜1时，h（0）=a-1＜0不满足①，所以不是G函数；
若a≥1时，h（x）在x∈[0，1]上是增函数，则h（x）≥0，满足①，由定义h（x₁+x₂）≥h（x₁）+h（x₂），则可化简为a≤

1

1-(2x1-1)(2x1-1)

，从而有a≤1，故可确定a的值；
（3）根据（2）知：a=1，方程为4^x-2^x=m，利用换元法，根据二次函数的图象可进行讨论．

解答：解：（1）当x∈[0，1]时，总有g（x）=x²≥0，满足①，…（1分）
当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，g（x₁+x₂）=x₁²+x₂²+2x₁x₂≥x₁²+x₂²=g（x₁）+g（x₂），满足②…（4分）
故函数g（x）是G函数；
（2）若a＜1时，h（0）=a-1＜0不满足①，所以不是G函数；…（5分）
若a≥1时，h（x）在x∈[0，1]上是增函数，则h（x）≥0，满足①…（6分）
由h（x₁+x₂）≥h（x₁）+h（x₂），得a•2x1+x2-1≥a•2x1-1+a•2x2-1，
即a[1-(2x1-1)(2x2-1)]≤1，…（7分）
因为x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1
所以 0≤2x1-1≤10≤2x2-1≤1x₁与x₂不同时等于1∴0≤(2x1-1)(2x1-1)＜1∴0＜1-(2x1-1)(2x1-1)≤1∴a≤

1

1-(2x1-1)(2x1-1)

…（9分）
当x₁=x₂=0时，(

1

1-(2x1-1)(2x1-1)

)min=1∴a≤1，…（11分）
综合上述：a∈{1}…（12分）
（3）根据（2）知：a=1，方程为4^x-2^x=m，
由

0≤2x-1≤1 0≤x≤1

得　x∈[0，1]…（14分）
令2^x=t∈[1，2]，则m=t2-t=(t-

1

2

)2-

1

4

…（16分）
由图形可知：当m∈[0，2]时，有一解；
当m∈（-∞，0）∪（2，+∞）时，方程无解．…（18分）

点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查新定义，关键是正确理解新定义，同时考查学生分析解决问题的能力，由一定的难度．