Question

如图，直线l₁：y=kx（k＞0）与直线l₂：y=-kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W₁，右半部分记为W₂，
（Ⅰ）分别用不等式组表示W₁和W₂；
（Ⅱ）若区域W中的动点P（x，y）到l₁，l₂的距离之积等于d²，求点P的轨迹C的方程；
（Ⅲ）设不过原点O的直线l与（Ⅱ）中的曲线C相交于M₁，M₂两点，且与l₁，l₂分别交于M₃，M₄两点，求证△OM₁M₂的重心与△OM₃M₄的重心重合。

Answer 1

解：（Ⅰ），；
（Ⅱ）直线l₁：kx-y=0（k＞0），直线l₂：kx+y=0，
由题意得，即，
由P（x，y）∈W，知，
所以，
所以动点P的轨迹C的方程为。
（Ⅲ）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x=a（a≠0），
由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l₁与l₂关于x轴对称，
于是M₁M₂，M₃M₄的中点坐标都为（a，0），
所以△OM₁M₂，△OM₃M₄的重心坐标都为，即它们的重心重合；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0），
由得，
由直线l与曲线C有两个不同交点，可知，
且，
设的坐标分别为，
则，
设的坐标分别为，
由得，
从而，
所以，
所以，
于是△OM₁M₂的重心与△OM₃M₄的重心也重合。