Question

已知△ABC中，b²=ac
（1）求证：0＜B≤

π

3

（2）求y=

1+sin2B

sinB+cosB

的值域．

Answer 1

分析：（1）先利用余弦定理表示出cosB，再结合b²=ac求出cosB的范围即可证明结论；
（2）先对所求的函数进行化简，再结合第一问的结论以及辅助角公式的运用即可求出y=

1+sin2B

sinB+cosB

的值域．

解答：解：（1）证明：因为cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
0＜B＜π
∴0＜B≤

π

3

．
（2）∵y=

1+sin2B

sinB+cosB

=

(sinB+cosB)2

sinB+cosB

=sinB+cosB=

2

sin（B+

π

4

）
又∵0＜B≤

π

3

∴

π

4

＜B+

π

4

≤

7π

12

∴

2

2

＜sin（B+

π

4

）≤1
∴1＜y≤

2

．
即y=

1+sin2B

sinB+cosB

的值域为（1，

2

]．

点评：本题主要考查余弦定理的运用以及辅助角公式的运用．一般在三角形中求角的范围问题时，比较常用余弦定理．