精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,在正四棱锥S-ABCD中,AB=,SA=10,M、N、O分别是SA、SB、BD的中点.
(1)设P是OC的中点,证明:PN∥平面BMD;
(2)求直线SO与平面BMD所成角的大小;
(3)在△ABC内是否存在一点G,使NG⊥平面BMD,若存在,求线段NG的长度;若不存在,说明理由.

【答案】分析:(1)建立空间坐标系,根据题意求出平面BMD的法向量,因为,进而得到线面平行.
(2)由(1)可得平面BMD的法向量,再求出直线OS所在的向量,利用向量之间的运算求出两个向量的夹角,再转化为线面角.
(3)若存在点G,设G点坐标为(x1,y1,0),结合题意可得:,即可求出点G的坐标,再检验点G的坐标满足题意,进而求出NG的长度.
解答:解:(1)以点O为原点,分别为OB、OC、OS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz,

又因为
所以
又∵直线PN不在平面BMD内
∴PN∥平面BMD.   …(4分)
(2)设直线SO与平面BMD所成角为θ,
所以sinθ=
.…(8分)
(3)若存在点G,设G点坐标为(x1,y1,0),

所以点G坐标为…(10分)
在平面直角坐标系xoy中,△ABC的内部区域可表示不等式组:
经检验点G的坐标满足上述不等式组.

故在△ABC内存在一点G,使NG⊥平面BMD,且NG=…(12分)
点评:本题考查的知识点是直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定以及直线与平面垂直的判定,夹角此类问题的关键是熟练掌握直线与平面夹角的定义,及空间线线、线面垂直关系之间的互相转化,或者建立空间直角坐标系利用空间向量的有关知识解决问题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在正四棱锥S-ABCD中,E是BC的中点,P点在侧面△SCD内及其边界上运动,并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在正四棱锥S-ABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论中恒成立的个数为(  )
(1)EP⊥AC; 
(2)EP∥BD;
(3)EP∥面SBD;
(4)EP⊥面SAC.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在正四棱锥S-ABCD中,AB=8
2
,SA=10,M、N、O分别是SA、SB、BD的中点.
(1)设P是OC的中点,证明:PN∥平面BMD;
(2)求直线SO与平面BMD所成角的大小;
(3)在△ABC内是否存在一点G,使NG⊥平面BMD,若存在,求线段NG的长度;若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012-2013学年江苏省淮安市涟水县郑梁梅高中高一(上)第二次月考数学试卷(解析版) 题型:选择题

如图,在正四棱锥S-ABCD中,E是BC的中点,P点在侧面△SCD内及其边界上运动,并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是( )
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2013年辽宁省沈阳市东北育才学校高考数学二模试卷(文科)(解析版) 题型:选择题

如图,在正四棱锥S-ABCD中,E是BC的中点,P点在侧面△SCD内及其边界上运动,并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是( )
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

同步练习册答案
关 闭