Question

8．设不等式|2x-1|＜1的解集为M，a∈M，b∈M
（1）试比较ab+1与a+b的大小
（2）设max表示数集A的最大数，h=max{$\frac{2}{\sqrt{a}}$，$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{\sqrt{ab}}$，$\frac{2}{\sqrt{b}}$}，求证h≥2．

Answer 1

分析 （1）先求出a，b的范围，作差法比较大小即可；（2）求出h³的最小值，从而求出h的最小值．

解答 解：（1）M={x|0＜x＜1}，（ab+1）-（a+b）=（a-1）（b-1），
∵a，b∈M，∴a＜1，b＜1，∴a-1＜0，b-1＜0，
∴（a-1）（b-1）＞0，∴ab+1＞a+b；
（2）证明：由h=max{$\frac{2}{\sqrt{a}}$，$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{\sqrt{ab}}$，$\frac{2}{\sqrt{b}}$}，
得h≥$\frac{2}{\sqrt{a}}$，h≥$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{\sqrt{ab}}$，h≥$\frac{2}{\sqrt{b}}$，
所以h³≥$\frac{2}{\sqrt{a}}$•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{\sqrt{ab}}$•$\frac{2}{\sqrt{b}}$=$\frac{4（{a}^{2}+{b}^{2}）}{ab}$≥8，
故h≥2．

点评 本题考查了不等式的大小比较，考查绝对值不等式的解法，是一道中档题．