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8.设不等式|2x-1|<1的解集为M,a∈M,b∈M
(1)试比较ab+1与a+b的大小
(2)设max表示数集A的最大数,h=max{$\frac{2}{\sqrt{a}}$,$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{\sqrt{ab}}$,$\frac{2}{\sqrt{b}}$},求证h≥2.

分析 (1)先求出a,b的范围,作差法比较大小即可;(2)求出h3的最小值,从而求出h的最小值.

解答 解:(1)M={x|0<x<1},(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1),
∵a,b∈M,∴a<1,b<1,∴a-1<0,b-1<0,
∴(a-1)(b-1)>0,∴ab+1>a+b;
(2)证明:由h=max{$\frac{2}{\sqrt{a}}$,$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{\sqrt{ab}}$,$\frac{2}{\sqrt{b}}$},
得h≥$\frac{2}{\sqrt{a}}$,h≥$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{\sqrt{ab}}$,h≥$\frac{2}{\sqrt{b}}$,
所以h3≥$\frac{2}{\sqrt{a}}$•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{\sqrt{ab}}$•$\frac{2}{\sqrt{b}}$=$\frac{4({a}^{2}+{b}^{2})}{ab}$≥8,
故h≥2.

点评 本题考查了不等式的大小比较,考查绝对值不等式的解法,是一道中档题.

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