Question

8．新高考政策已经在上海和浙江试验实施．为了解学生科目选择的意向，从某校高一学生中随机抽取30位同学，对其选课情况进行统计分析，得到频率分布表如下：

科目选择	物理 化学 生物	历史 地理 政治	物理 化学 地理	历史 地理 生物	物理 政治 历史	其他
频率	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{15}$	a	b	c

（Ⅰ）若所抽取的30位同学中，有2位同学选择了“历史、地理、生物”组合，3位同学选择了“物理、政治、历史”组合．求a、b、c的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将选择了“历史、地理、生物”组合的2位同学记为x₁、x₂，选择了“物理、政治、历史”组合的3位同学记为y₁、y₂、y₃．现从这5位同学中任取2位（假定每位同学被抽中的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两位同学科目选择恰好相同的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布表得$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{2}{15}+a+b+c=1$，再由抽取的30位同学中，有2位同学选择了史地生组合，有3位同学选择了理政史组合，由此能求出a、b、c的值．
（Ⅱ）从5位同学x₁，x₂，y₁，y₂，y₃中任取2位，利用列举法求出所有可能的结果和设事件A“从这5位同学中任取2位，这两位同学科目选择恰好相同“包含的基本事件，由此能求出这两位同学科目选择恰好相同的概率．

解答 （本小题共13分）
解：（Ⅰ）由频率分布表得$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{2}{15}+a+b+c=1$，…（2分）
因为抽取的30位同学中，有2位同学选择了史地生组合，所以$a=\frac{1}{15}$，
有3位同学选择了理政史组合，所以$b=\frac{1}{10}$，从而$c=\frac{1}{3}$
所以$a=\frac{2}{30}$，$b=\frac{1}{10}$，$c=\frac{1}{3}$．…（5分）
（Ⅱ）从5位同学x₁，x₂，y₁，y₂，y₃中任取2位，所有可能的结果为：
{x₁，x₂}，{x₁，y₁}，{x₁，y₂}，{x₁，y₃}，{x₂，y₁}，{x₂，y₂}，{x₂，y₃}，{y₁，y₂}，{y₁，y₃}，{y₂，y₃}．…（8分）
设事件A表示“从这5位同学中任取2位，这两位同学科目选择恰好相同”，
则A包含的基本事件为：{x₁，x₂}，{y₁，y₂}，{y₁，y₃}，{y₂，y₃}共4个，
又基本事件的总数为10，
故这两位同学科目选择恰好相同的概率$P（A）=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$．…（13分）

点评 本题考查频率分布列的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．