Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AD，AB的中点．
（1）求证：EF∥平面CB₁D₁；
（2）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结BD，得EF∥BD，又BD∥B₁D₁，所以EF∥B₁D₁，由此能证明直线EF∥平面CB₁D₁．
（2）由已知得A₁C₁⊥B₁D₁，CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，从而CC₁⊥B₁D₁，由此能证明B₁D₁⊥平面CAA₁C₁，从而能证明平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

解答： （1）证明：连结BD，在△ABD中，
E、F分别为棱AD、AB的中点，故EF∥BD，
又BD∥B₁D₁，所以EF∥B₁D₁，…（2分）
又B₁D₁?平面CB₁D₁，EF不包含于平面CB₁D₁，
所以直线EF∥平面CB₁D₁．…（6分）
（2）证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面A₁B₁C₁D₁是正方形，
则A₁C₁⊥B₁D₁…（8分）
又CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，
则CC₁⊥B₁D₁，…（10分）
又A₁C₁∩CC₁=C₁，A₁C₁?平面CAA₁C₁，CC₁?平面CAA₁C₁，
所以B₁D₁⊥平面CAA₁C₁，又B₁D₁?平面CB₁D₁，
所以平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．