Question

如图A是单位圆与x轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），

OQ

=

OA

+

OP

，四边形OAQP的面积为S，当

OA

•

OP

+S取得最大值时θ的值和最大值分别为（　　）

• A．

  π

  6

  ，

  3

• B．

  π

  3

  ，1
• C．

  π

  4

  ，

  2

• D．

  π

  2

  ，

  2

Answer 1

分析：根据向量的加法法则得到四边形OAQP为平行四边形，因此算出其面积S=

|OA|

•

|OP|

sin∠POA=sinθ．由向量数量积的公式，算出

OA

•

OP

=cosθ，从而得到

OA

•

OP

+S=cosθ+sinθ=

2

sin（θ+

π

4

），再利用正弦函数的图象与性质，即可算出答案．

解答：解：∵

OQ

=

OA

+

OP

，
∴四边形OAQP为平行四边形，其面积S=

|OA|

•

|OP|

sin∠POA，
∵P、A在单位圆上，可得

|OA|

=

|OP|

=1，∠AOP=θ，
∴S=

|OA|

•

|OP|

sin∠POA=sinθ．
又∵

OA

•

OP

=

|OA|

•

|OP|

cos∠POA=cosθ，
∴

OA

•

OP

+S=cosθ+sinθ=

2

sin（θ+

π

4

）
∵0＜θ＜π，可得θ+

π

4

∈（

π

4

，

5π

4

）．
∴当且仅当θ+

π

4

=

π

2

时，即θ=

π

4

时，

OA

•

OP

+S=

2

sin（θ+

π

4

）有最大值

2

．
故选：C

点评：本题给出单位圆中的向量与平行四边形，求

OA

•

OP

+S的最大值和相应的角θ的值．着重考查了向量的加法法则、平行四边形的面积计算、三角恒等变换与三角函数的最值求法等知识，属于中档题．