Question

13．若数列{a_n}满足a₁=1，3（a_n-a_n+1）=a_n•a_n+1，n∈N⁺，则数列{a_n}的通项公式是a_n=$\frac{3}{n+2}$．

Answer 1

分析 a₁=1，3（a_n-a_n+1）=a_n•a_n+1，n∈N⁺，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$．再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a₁=1，3（a_n-a_n+1）=a_n•a_n+1，n∈N⁺，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$．
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，公差为$\frac{1}{3}$，首项为1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{3}（n-1）$=$\frac{n+2}{3}$．
∴a_n=$\frac{3}{n+2}$．
故答案为：a_n=$\frac{3}{n+2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．