Question

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为

1

2

，一个焦点和抛物线y²=-4x的焦点重合，过直线l：x=4上一点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A，B．
（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ）若在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的点（x₀，y₀）处的椭圆的切线方程是

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．求证：直线AB恒过定点C；并出求定点C的坐标．
（Ⅲ）是否存在实数λ，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立？（点C为直线AB恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，根据它的一个焦点和抛物线y²=-4x的焦点重合，从而求出c值，再求出a和b的值，从而求解；
（Ⅱ）切点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l上一点M的坐标（4，t），求出切线方程，再把点M代入切线方程，说明点A，B的坐标都适合方程x+

t

3

y=1，而两点之间确定唯一的一条直线，从而求出定点；
（Ⅲ）联立直线方程和椭圆的方程进行联立，求出两根的积和两根的和，求出|AC|，|BC|的长，求出λ的值看在不在，再进行判断；

解答：解：（I）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
抛物线y²=-4x的焦点是（-1，0），故c=1，又

c

a

=

1

2

，
所以a=2，b=

a2-c2

=

3

，
所以所求的椭圆Ω方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（II）设切点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线l上一点M的坐标（4，t）．
则切线方程分别为

x1x

4

+

y1y

3

=1，

x2x

4

+

y2y

3

=1．
又两切线均过点M，
即x1+

t

3

y1=1，x2+

t

3

y2=1，
即点A，B的坐标都适合方程x+

t

3

y=1，而两点之间确定唯一的一条直线，
故直线AB的方程是x+

t

3

y=1，显然对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，
故直线AB恒过定点C（1，0）．           …（9分）
（III）将直线AB的方程x=-

t

3

y+1，代入椭圆方程，
得3(-

t

3

y+1)2+4y2-12=0，即(

t2

3

+4) y2-2ty-9=0
所以y1+y2=

6t

t2+12

，y1y2=

-27

t2+12

不妨设y₁＞0，y₂＜0|AC|=

(x1-1)2+ y 2 1

=

( t2 9 +1) y 2 1

=

t2+9

3

y1，
同理|BC|=-

t2+9

3

y2…（12分）
所以

1

|AC|

+

1

|BC|

=

3

t2+9

•(

1

y1

-

1

y2

)=

3

t2+9

•

y2-y1

y1y2

=-

3

t2+9

•

(y2-y1)2

y1y2

=-

3

t2+9

•

( 6t t2+12 )2+ 108 t2+12

-27 t2+12

=

1

t2+9

•

144t2+9×144

9

=

4

3

即|AC|+|BC|=

4

3

|AC|•|BC|．
故存在实数λ=

4

3

，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|．   …（15分）

点评：此题主要考查利用导数研究函数的切线方程，第三问是一个存在性问题，利用了根与系数的关系，需要联立方程，考查了学生的计算能力，是一道难题；