Question

数列{a_n}为等比数列，公比为q，a₂=6，6a₁+a₃=30．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₁＞q，求数{na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（1）∵等比数列{a_n}的公比为q，a₂=6，6a₁+a₃=30，
∴6×+a₂q=30，即+6q=30，
解得q=2或q=3．
当q=2时，a₁=3，a_n=3×2^n-1，
当q=3时，a₁=2，a_n=2×3^n-1；
∴a_n=3×2^n-1或a_n=2×3^n-1；
（2）∵a₁＞q，
∴a₁=3，q=2，a_n=3×2^n-1，
∴数{na_n}的前n项和S_n=3•2⁰+6•2¹+9•2²+…+3n•2^n-1，①
2S_n=3•2¹+6•2²+9•2³+…+3（n-1）•2^n-1+3n•2ⁿ，②
①-②得：-S_n=3•（2⁰+2¹+2²+…+2^n-1）-3n•2ⁿ，
∴S_n=-3×+3n•2ⁿ
=（3n-3）•2ⁿ+3．
分析：（1）根据题意可得到关于公比为q的二元一次方程，从而解得q与a₁，继而可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由a₁＞q，结合（1）可知，a_n=3×2^n-1，利用错位相减法可求数列{na_n}的前n项和S_n．
点评：本题考查等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和，通过方程求得数列{a_n}的公比，从而求得通项公式是关键，属于中档题．