Question

【题目】已知数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=2n ， n∈N* ， 若 +19≤3n对任意n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣8]
【解析】解：∵a1=1，且an+1﹣an=2n ， n∈N* ， 即n≥2时，an﹣an﹣1=2n﹣1 ． ∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1= =2n﹣1．
∵ +19≤3n，化为：λ≤ =f（n）．
+19≤3n对任意n∈N*都成立，λ≤f（n）min ．
由f（n）≤0，可得n≤ ，因此n≤6时，f（n）＜0；n≥7时，f（n）＞0．
f（n+1）﹣f（n）= ﹣ = ≤0，
解得n≤ ．
∴f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）＞f（5）＜f（6），
可得f（n）min=f（5）=﹣8．
则实数λ的取值范围为（﹣∞，﹣8]．
故答案为：（﹣∞，﹣8]．
a1=1，且an+1﹣an=2n ， n∈N* ， 即n≥2时，an﹣an﹣1=2n﹣1 ． 利用an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1可得an. +19≤3n，化为：λ≤ =f（n）. +19≤3n对任意n∈N*都成立，λ≤f（n）min ． 通过作差即可得出最小值．