Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O．
（I）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：PB=PD；
（II）若∠DAB=60°，PA=PC，PB=PD，AB=2，PO=1，求直线AB与平面PAD所成角的正弦值；
（III）在棱PC上是否存在点M（异于点C），使得BM∥平面PAD．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）平面PAC⊥平面ABCD，AC⊥BD，根据平面和平面垂直的性质定理，得出BD⊥面PAC，BD⊥PO，又BO=DO，故PB=PD．
（II）设点B到平面PAD距离为d，AB与平面PAD所成角为α，则，利用体积相等法求出d后即得结果．
（III）不存在满足题中条件的点M，用反证法证明．
解答：（I）证明：底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD
∵面PAC⊥面ABCD，面PAC∩面ABCD=AC，BD?面ABCD
∴BD⊥面PAC，∵PO?面PAC，∴BD⊥PO
∵底面ABCD是菱形，∴BO=DO，故PB=PD…..（3分）
（II）解：设点B到平面PAD距离为d，AB与平面PAD所成角为α，则
∵PA=PC，AO=OC，∴PO⊥BD
∵AC∩BD=O，∴PO⊥面ABCD
∵∠DAB=60°，AB=2，∴，又PO=1
∴，，
由于V_B-PAD=V_P-ABD，
∴
即∴，
，故直线AB与平面AD所成角的正弦值为…..（8分）
（III）解：不存在满足题中条件的点M，下面用反证法证明．
假设在棱PC上存在点M（异于点C）
使得BM∥平面PAD
又菱形ABCD中BC∥AD，∵AD?面PAD，BD?面PAD
∴BC∥面PAD
∵BM?面PBC，BC?面PBC，BC∩BM=B
∴面PBC∥面PAD，而平面PBC与平面PAD相交矛盾，
故不存在这样的点…（13分）
点评：本题考查了平面于平面垂直关系的判定与应用，直线与平面所成的角的概念与计算，考查空间想象能力、推理论证、计算能力．