Question

17、如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，AC∩BD=O，侧棱AA₁⊥BD，点F为DC₁的中点．
（I） 证明：OF∥平面BCC₁B₁；
（II）证明：平面DBC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析：（I）由已知中底面ABCD为菱形，AC∩BD=O，点F为DC₁的中点．结合三角形中位线定理我们易证明OF∥BC₁，进而结合线面平行的判定定理，我们即可得到OF∥平面BCC₁B₁；
（II）由四边形ABCD为菱形，根据棱形的性质，我们易得对角线垂直，结合侧棱AA₁⊥BD，我们根据线面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACC₁A₁，进而根据面面垂直的判定定理得到平面DBC₁⊥平面ACC₁A₁

解答：证明：（I）∵四边形ABCD为菱形且AC∩BD=O，
∴O是BD的中点．（2分）
又点F为DC₁的中点，
∴在△DBC₁中，OF∥BC₁，（4分）
∵OF?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴OF∥平面BCC₁B₁．（6分）
（II）∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，（8分）
又BD⊥AA₁，AA₁∩AC=A，且AA₁，AC?平面ACC₁A₁，（10分）
∴BD⊥平面ACC₁A₁，（11分）
∵BD?平面DBC₁，
∴平面DBC₁⊥平面ACC₁A₁．（13分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定及直线与平面平行的判定，熟练掌握线面平行，线面垂直及面面垂直的判定定理及证明步骤是解答本题的关键．