Question

18．已知（1+2x）ⁿ的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．

Answer 1

分析 根据在（1+2x）ⁿ的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，可得C_n³=7C_n^n-1，得到n=8，写出二项式的二项式系数，根据二项式系数的性质得到结果．

解答 解：∵在（1+2x）ⁿ的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，
∴C_n³=7C_n^n-1，
∴n=8，
∴展开式中二项式系数最大的项是第5项：${C}_{8}^{4}•（2x）^{4}$=1120x⁴．
二项式的展开式的系数最大的项为第r项，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{8}^{r}•{2}^{r}≥{C}_{8}^{r-1}•{2}^{r-1}}\\{{C}_{8}^{r}•{2}^{r}≥{C}_{8}^{r+1}•{2}^{r+1}}\end{array}\right.$，解得5≤r≤$\frac{16}{3}$，
∴r=5，
∴展开式中系数最大的项是第5项：${C}_{8}^{4}•（2x）^{4}$=1120x⁴．

点评 本题考查二项式系数的性质，本题解题的关键是正确利用二项式系数的性质，注意和组合数联系，本题是中档题．