【题目】如图,已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形,点M、N分别是B1C1和A1B1的中点,AA1=AB=BM=2,∠A1AB=60°.
(1)求证:BN⊥平面A1B1C1;
(2)求二面角A1﹣AB﹣M的余弦值.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
(1)要证平面,只需证明,;
(2)建立坐标系,求出平面的一个法向量,平面的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求二面角的余弦值.
(1)证明:连接MN,A1B,
∵侧面是ABB1A1菱形,且∠A1AB=60°,∴△A1BB1为正三角形.
∵N是A1B1的中点,∴BN⊥A1B1,
∵AA1=AB=BM=2,∴BN=,MN=1,∴BN2+MN2=BM2,∴BN⊥MN,
∵A1B1∩MN=N,∴BN⊥平面A1B1C1;
(2)取AB的中点E,连接A1E,则A1E∥BN,由(1)知A1E⊥平面ABC,
以E为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则E(0,0,0),A(﹣1,0,0),B(1,0,0),C(0,,0),A(0,0,),B1(2,0,),
设M(x,y,z),由得,
∴,
∴,
平面ABA1的一个法向量为(0,1,0),
设平面MAB的法向量(x,y,z),则 ,
∴(0,﹣2,1),
∴ ,
∴二面角A1﹣AB﹣M的余弦值为.
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【题目】如图,棱长为的正方体的顶点在平面内,三条棱,,都在平面的同侧. 若顶点,到平面的距离分别为,;
(1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值;
(2)求顶点到面的距离.
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【题目】已知双曲线的离心率为2,左右焦点分别为,,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,且的周长为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线,点P是双曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.
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【题目】如图,点分别是圆心在原点,半径为和的圆上的动点.动点从初始位置开始,按逆时针方向以角速度作圆周运动,同时点从初始位置开始,按顺时针方向以角速度作圆周运动.记时刻,点的纵坐标分别为.
(Ⅰ)求时刻,两点间的距离;
(Ⅱ)求关于时间的函数关系式,并求当时,这个函数的值域.
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.为曲线上的动点,点在射线上,且满足.
(Ⅰ)求点的轨迹的直角坐标方程;
(Ⅱ)设与轴交于点,过点且倾斜角为的直线与相交于两点,求的值.
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【题目】(2018·湖南师大附中摸底)已知直线l经过点P(-4,-3),且被圆(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦长为8,则直线l的方程是________.
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【题目】一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字满足|a﹣b|<c”的概率.
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【题目】正数数列、满足:≥,且对一切k≥2,k,是与的等差中项,是与的等比中项.
(1)若,,求,的值;
(2)求证:是等差数列的充要条件是为常数数列;
(3)记,当n≥2(n)时,指出与的大小关系并说明理由.
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