分析 运用指数函数的单调性可得1<2x≤2,f(2x)=2x-2-x在(0,1]递增,可得t≥$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}-{2}^{-x}}$=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$对x∈(0,1]恒成立.求得右边的最大值,即可得到t的范围.
解答 解:由0<x≤1,可得1<2x≤2,
f(2x)=2x-2-x在(0,1]递增,
且0<f(2x)≤$\frac{3}{2}$,
不等式t•f(2x)≥2x-1,即为t≥$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}-{2}^{-x}}$=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$
对x∈(0,1]恒成立.
由$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=$\frac{1}{1+{2}^{-x}}$在(0,1]上递增,可得x=1时,取得最大值$\frac{2}{3}$,
即有t≥$\frac{2}{3}$.
故答案为:[$\frac{2}{3}$,+∞).
点评 本题考查不等式恒成立问题的解法,注意运用参数分离,转化为求函数的最值,考查运算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{5}$ | B. | $\frac{1}{4}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | $\frac{1}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2sinx | B. | 2cosx | C. | -2sinx | D. | -2cosx |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | [$-\frac{3}{8}$+k,$\frac{1}{8}$+k](k∈Z) | B. | (-$\frac{1}{8}$+k,$\frac{1}{8}$+k](k∈Z) | C. | [$-\frac{3}{8}$+k,$\frac{1}{8}$+k](k∈Z) | D. | [$\frac{1}{8}$+k,$\frac{3}{8}$+k)(k∈Z) |
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