Question

【题目】已知二次函数f（x）=x2+bx+c，且f（﹣3）=f（1），f（0）=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣（4+2a）x+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函数f（x）=x2+bx+c，且f（﹣3）=f（1），f（0）=0．

∴c=0，且9﹣3b=1+b，

∴b=2，

∴函数f（x）=x2+2x

（2）解：g（x）=f（x）﹣（4+2a）x+2=x2﹣（2+2a）x+2的图象开口朝上，且以直线x=a+1为对称轴，

由x∈[1，2]，

①当a+1≤1时，即a≤0时，当x=1时，函数g（x）取最小值1﹣2a，当x=2时，函数g（x）取最大值2﹣4a；

②当1＜a+1＜ 时，即0＜a＜ 时，当x=1+a时，函数g（x）取最小值﹣a2﹣2a+1，当x=2时，函数g（x）取最大值2﹣4a

③当a+1= 时，即a= 时，当x= 时，函数g（x）取最小值﹣ ，当x=1，或x=2时，函数g（x）取最大值﹣2；

④当 ＜a+1＜2时，即 ＜a＜1时，当x=1+a时，函数g（x）取最小值﹣a2﹣2a+1，当x=1时，函数g（x）取最大值1﹣2a，

⑤当a+1≥2时，即a≥1时，当x=2时，函数g（x）取最小值2﹣4a，当x=1时，函数g（x）取最大值1﹣2a

【解析】（1）由已知中f（﹣3）=f（1），f（0）=0，求出b，c的值，可得函数f（x）的解析式；（2）函数g（x）=f（x）﹣（4+2a）x+2=x2﹣（2+2a）x+2的图象开口朝上，且以直线x=a+1为对称轴，由x∈[1，2]，对对称轴的位置进行分类讨论，可得函数的最值．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能正确解答此题．