Question

已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的周期为π，
且对一切x∈R，都有f（x）；
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若g（x）=f（），求函数g（x）的单调增区间；
（3）若函数y=f（x）-3的图象按向量=（m，n） （|m|＜）平移后得到一个奇函数的图象，求实数m、n的值．

Answer 1

解：（1）∵，又周期∴ω=2
∵对一切x∈R，都有f（x）
∴解得：
∴f（x）的解析式为
（2）∵（3）
∴g（x）的增区间是函数y=sin的减区间
∴由得g（x）的增区间为（k∈Z）（等价于．
（3）
分析：（1）由辅助角公式，我们可将函数解析式化为正弦型函数的形式，结合函数f（x）的周期为π，对一切x∈R，都有f（x），我们可以构造a，b，ω的方程，求出a，b，ω的后，即可得到函数f（x）的表达式；
（2）根据g（x）=f（），求出函数g（x）的解析式，进而根据正弦型函数的单调性，确定函数g（x）的单调增区间；
（3）根据正弦型函数的平移法则，我们可以求出函数y=f（x）-3的图象按向量=（m，n）平移后得到的图象，由其为奇函数，故原点为其对称中心，根据正弦函数的对称性，易得到实数m、n的值．
点评：本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法，正弦型函数的单调性，正弦型函数的图象变换，其中（1）的关键是根据已知构造a，b，ω的方程，（2）的关键是求出函数g（x）的解析式，（3）的关键是利用函数的对称性，得到原点为其对称中心．