Question

【题目】已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an﹣1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=n（an﹣1），求数列{bn}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】解：（I）数列{an}满足a1=2，an+1=2an﹣1．变形为：an+1﹣1=2（an﹣1）．a1﹣1=1．
∴数列{an﹣1}是等比数列，
∴an﹣1=2n﹣1 ， 解得an=1+2n﹣1 ．
（II）bn=n（an﹣1）=n2n﹣1 ，
∴数列{bn}的前n项和Sn=1+2×2+3×22+…+n2n﹣1 ，
∴2Sn=2+2×22+…+（n﹣1）2n﹣1+n2n ，
∴﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n2n= ﹣n2n=（1﹣n）2n﹣1，
可得Sn=（n﹣1）2n+1
【解析】（I）数列{an}满足a1=2，an+1=2an﹣1．变形为：an+1﹣1=2（an﹣1）．利用等比数列的通项公式即可得出．（II）bn=n（an﹣1）=n2n﹣1 ， 利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．