Question

15．已知m，x∈R，向量$\overrightarrow{a}$=（x，m），$\overrightarrow{b}$=（m+1，1）．
（1）若|$\overrightarrow{a}$|＞|$\overrightarrow{b}$|（m＞0），求实数x的取值范围；
（2）当m∈[-1，1]时，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$≤0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用向量的模的公式，化简可得x²＞2+2m＞2，解不等式即可得到所求范围；
（2）由题意可得m+x（m+1）≤0，设f（m）=m（x+1）+x，可得f（m）≤0在m∈[-1，1]恒成立．则f（-1）≤0，f（1）≤0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（x，m），$\overrightarrow{b}$=（m+1，1），
|$\overrightarrow{a}$|＞|$\overrightarrow{b}$|（m＞0），即为|$\overrightarrow{a}$|²＞|$\overrightarrow{b}$|²（m＞0），
即有x²+m²＞1+m²+2m+1，
即为x²＞2+2m＞2，
解得x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$；
（2）当m∈[-1，1]时，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$≤0恒成立，
即有m+x（m+1）≤0，
设f（m）=m（x+1）+x，
可得f（m）≤0在m∈[-1，1]恒成立．
则f（-1）≤0，f（1）≤0，即有x-x-1≤0，x+1+x≤0，
解得x≤-$\frac{1}{2}$．
可得实数x的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和向量模的公式的运用，以及不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，构造函数法是解题的关键，属于中档题．