Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC的中点，E是线段D₁O上一点，且D₁E=EO．求异面直线DE与CD₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：根据题意，建立如图所示空间直角坐标系，算出向量

DE

、

CD1

的坐标，利用空间向量的夹角公式算出

DE

、

CD1

所成角的余弦值，结合异面直线所成角的定义，即可得出异面直线DE与CD₁所成角的余弦值．

解答：解：设正方体的棱长为2，以DA、DC、DD₁为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
可得D（0，0，0），E（

1

2

，

1

2

，1），C（0，2，0），
D₁（0，0，2），
∴

DE

=（

1

2

，

1

2

，1），

CD1

=（0，-2，2），
可得cos＜

DE

，

CD1

＞=

DE • CD1

|DE| • CD1

=

1 2 ×0+ 1 2 ×(-2)+1×2

1 4 + 1 4 +1 • 0+4+4

=

3

6

．
由异面直线DE与CD₁所成角等于

DE

、

CD1

所成角，
可得异面直线DE与CD₁所成角的余弦值等于

3

6

．

点评：本题在正方体中求异面直线所成角的大小，着重考查了正方体的性质、利用空间向量研究空间直线所成角等知识，属于中档题．