Question

已知函数y=4^x-3•2^x+3．
（1）若函数的定义域为x∈[0，2]，求该函数的值域．
（2）若该函数的值域为[7，43]，试确定x的取值范围．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过换元法令t=2^x，转化为二次函数f（t）=t²-3t+3在给定范围1≤t≤4内进行求解，最后根据二次函数值域的求解方法进行求解即可．
（2）令t=2^x（t＞0），可得f（t）=t²-3t+3，由函数的值域为[7，43]，得7≤t²-3t+3≤43，解出4≤t≤8，再将t还原成2^x，最后解关于x的不等式，即可得到实数x的取值范围．

解答： 解：（1）令t=2^x，则1≤t≤4，
∵f（x）=（2^x）²-3•2^x+3，
∴f（t）=t²-3t+3，
∴对称轴t=

3

2

，
∴函数f（t）在[0，

3

2

]上单调递减，在（

3

2

，2]上单调递增，
∴当t=

3

2

时，函数f（t）有最小值，为f（

3

2

）=

3

4

，
当t=0时，函数f（t）有最小值，为f（0）=3，
∴函数的值域为[

3

4

，3]
（2）∵函数的值域为[7，43]，
∴解不等式7≤t²-3t+3≤43，可得

t2-3t-4≥0 t2-3t-40≤0

，
解此不等式组，由t＞0，得4≤t≤8，
∴4≤2^x≤8，即2≤x≤3，
因此，x的取值范围是[2，3]．

点评：二次函数求最值是我们再熟悉不过的函数了，问题的关键是能否把我们不熟悉的函数转化为我们熟悉的二次函数．而且采用换元法转化函数的时候，一定要注意换元后变量的范围．