Question

（2013•烟台一模）设{a_n}是正数组成的数列，a₁=3．若点（a_n，a_n+1²-2a_n+1）（n∈N^*）在函数f（x）=

1

3

x3+x2-2的导函数y=f′（x）图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

2

an+1•an

，是否存在最小的正数M，使得对任意n∈N^*都有b₁+b₂+…+b_n＜M成立？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），利用点在函数的图象上，求出递推关系，再求通项公式；
（2）利用a_n，求出b_n，再用裂项相消法分析求解即可．

解答：解：（1）f′（x）=x²+2x，
由点（an，an+12-2an+1）（n∈N^*）在y=f′（x）图象上，
得

a

2 n+1

-2a_n+1=

a

2 n

+2a_n⇒（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=2（a_n+1+a_n）
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=2，
∴数列{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列，
∴a_n=2n+1．
（2）b_n=

2

an+1•an

=

2

(2n+1)(2n+3)

=

1

2n+1

-

1

2n+3

，
∴b₁+b₂+…+b_n=

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+（

1

2n+1

-

1

2n+3

）=

1

3

-

1

2n+3

＜

1

3

，
∴存在最小正数M=

1

3

，使得不等式成立．

点评：本题考查数列求和、数列的函数特性．