Question

过椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则

1

|AF|

+

1

|BF|

=（　　）

• A．

  4

  3

• B．

  3

  4

• C．

  3

  5

• D．

  5

  3

Answer 1

分析：先根据椭圆方程求得焦点坐标，进而设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据韦达定理求得x₁•x₂和x₁+x₂的值，进而根据直线方程求得y₁y₂的值，最后根据弦长公式求出|AB|，利用韦达定理求出|AF|•|BF|，即可求得答案．

解答：解：由

X2

4

+

y2

3

=1，
得a²=4，b²=3，c²=a²-b²=1，左焦点为（-1，0）．
则过左焦点F，倾斜角为60°直线l的方程为y=

3

（x+1）．
代入

X2

4

+

y2

3

=1，
得5x²+8x=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁•x₂=0，x₁+x₂=-

8

5

，
又y₁y₂=

3

（x₁+1）•

3

（x₂+1）=3x₁x₂+3（x₁+x₂）+3=-

9

5

，
根据弦长公式得：|AB|=

1+3

(- 8 5 )2-4×0

=

16

5

，
且|AF||BF|=

(x1+1)2+ y12

•

(x2+1)2+y22

=

( 1 3 y 1)2+y12

•

( 1 3 y 2)2+y22

=

4

3

|y₁y₂|=

12

5

∴

1

|AF|

+

1

|BF|

=

|AB|

|AF||BF|

=

4

3

故选A．

点评：本题主要考查了椭圆的应用．当涉及过叫焦点的直线时，常需设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理来解决．