Question

18．设函数f（x）=log₂$\frac{x}{8}$•log₂（2x）．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）若$\frac{1}{8}$≤x≤4，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由对数的真数大于零求出函数f（x）的定义域，由对数的运算性质化简f（x），利用换元法、复合函数的单调性求出函数f（x）的单调区间；
（2）由（1）和二次、对数函数的性质求出f（x）的值域．

解答 解：（1）由题意得，函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f（x）=log₂$\frac{x}{8}$•log₂（2x）=（log₂x-3）（log₂x+1）
=$[lo{g}_{2}^{x}]^{2}-2lo{g}_{2}^{x}-3$，
设t=log₂x，代入得y=t²-2t-3，
则函数y=t²-2t-3在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
因为t=log₂x在定义域上递增，且由log₂x=1得x=2，
所以函数f（x）的增区间是（2，+∞），减区间是（0，2）；
（2）由$\frac{1}{8}$≤x≤4得，t=log₂x∈[-3，2]，
因为函数y=t²-2t-3在[-3，1）上递减，在（1，2]上递增，
所以当t=1时，函数y取到最小值-4，
当t=-3时，函数y取到最大值12，
所以f（x）的值域是[-4，12]．

点评 本题考查了对数函数的性质，对数的运算性质，复合函数的单调性，以及利用换元法将原函数转化为二次函数，考查转化思想，属于中档题．