Question

【题目】设函数f (x)＝lnx－x＋1．

（1）求f (x)的极值；

（2）若0＜a＜1，证明：函数g (x)＝(x－a)ex－ax2＋a(a－1) x(x＞lna)有极小值点x0，且g (x0)＜0．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）求导数，解方程 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值；（2）令得，，由（1）知，可得有极小值点，只需证明 即可.

（1）f′(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，令f′(x)＝0得x＝1．

当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：

x	(0，1)	1	(0，＋∞)
f ′(x)	＋	0	－
f (x)	↗	极大	↘

所以当x＝1时，f (x)取极大值f (1)＝0，没有极小值．

（2）g′(x)＝(ex－a)[ x－(a－1)]，令g′(x)＝0得x1＝lna，x2＝a－1．

因为0＜a＜1，由（1）知lna＜a－1．

当x∈(lna，a－1)时，g′(x)＜0；当x∈(a－1，＋∞)时，g′(x)＞0；所以g (x)有极小值点x0＝a－1．

由lna＜a－1，得ea－1＞a．

g (x0)＝g (a－1)＝a(a－1)2－ea-1＜a(a－1)2－a＝a(a2－2a－1)．

因为0＜a＜1，所以a2－2a－1＜0，因此g (x0)＜0．