Question

（理做） 一工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126米2的厂房，工程条件是：
（1）建1米新墙的费用为100元；
（2）修1米旧墙的费用为25元；
（3）拆去1米旧墙用所得的材料建1米新墙的费用为50元． 今讨论，有两种方案：（一）利用旧墙的一段x米（x＜14）为矩形厂房一面的边长；（二）矩形厂房的一面边长为x米 （x≥14）．设建墙费用y元．问：
（1）用方案（一），x为多少时建墙费用最省？
（2）用方案（二），x为多少时建墙费用最省？
（3）用（一）、（二）两种方案中哪种方案最好？

Answer 1

解：（1）∵拆去的旧墙的长为14-x，
∴建新墙的长为：，
∴
∴ （0＜x＜14）…（4分）
∴
当且仅当x=12∈（0，14）时建墙费用最省为3500元．…（6分）
（2）
∴ …（9分）
∵y在[14，+∞）上为增函数，
当且仅当x=14时建墙费用最省为3550元． …（11分）
（3）用方案（二）最好 …（12分）
分析：（1）拆去的旧墙的长为14-x，所以建新墙的长为：，故可得（0＜x＜14），利用基本不等式可求建墙费用最省；
（2）（x≥14），利用y在[14，+∞）上为增函数，可求建墙费用最省；
（3）两方案比较，可得结论．
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案优化问题，考查函数最值的求解方法，属于中档题．