Question

14．在锐角△ABC中，cosB+cos（A-C）=$\sqrt{3}$sinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）当BC=2时，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简已知可得：2sinAsinC=$\sqrt{3}$sinC，由△ABC为锐角三角形，即可求sinA的值，从而可求A的值．
（Ⅱ）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理及基本不等式可得：bc≤4，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵cosB+cos（A-C）=$\sqrt{3}$sinC．
∴-cos（A+C）+cos（A-C）=$\sqrt{3}$sinC，可得2sinAsinC=$\sqrt{3}$sinC，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵△ABC为锐角三角形，
∴A=60°…5分
（Ⅱ）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由题意可得：a=2，
由余弦定理可得：4=b²+c²-2bccos60°=b²+c²-bc≥bc，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsin60°≤\sqrt{3}$，
当且仅当△ABC为等边三角形时取等号，
∴△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．…12分

点评 本题主要考查了三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用，考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式的综合应用，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于中档题．