Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2，k），$\overrightarrow{b}$=（1，1），满足$\overrightarrow{b}$⊥（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用向量的加减运算和向量垂直的条件：数量积为0，解方程可得k；
（Ⅱ）求得向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的模，由向量的夹角公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）由量$\overrightarrow{a}$=（2，k），$\overrightarrow{b}$=（1，1），
可得$\overrightarrow a-3\overrightarrow b=（2，k）-（3，3）=（-1，k-3）$，
∵$\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-3\overrightarrow b$互相垂直，
∴$\overrightarrow{b•}（\overrightarrow a-3\overrightarrow b）=1×（-1）+1×（k-3）=0$，
∴k=4；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow a=（2，4），\overrightarrow b=（1，1）$，
∴$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{{2^2}+{4^2}}=2\sqrt{5}，|{\overrightarrow b}|=\sqrt{{1^2}+{1^2}}=\sqrt{2}$，
∴$cos＜\overrightarrow a，\overrightarrow b＞=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{{|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|}}=\frac{2×1+4×1}{{2\sqrt{5}•\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和向量垂直的条件：数量积为0，以及向量模的公式和向量的夹角公式的运用，属于中档题．