Question

（2013•莱芜二模）定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），已知f（x+1）是偶函数（x-1）f′（x）＜0．若x₁＜x₂，且x₁+x₂＞2，则f（x₁）与f（x₂）的大小关系是（　　）

A．f（x₁）＜f（x₂）

B．f（x₁）=f（x₂）

C．f（x₁）＞f（x₂）

D．不确定

Answer 1

分析：由f（x+1）为偶函数可得f（x）图象关于x=1对称，由（x-1）f′（x）＜0，可得f（x）在（-∞，1]，[1，+∞）上的单调性，分情况讨论：若x₁≤1，利用对称性把f（x₁）变到区间[1，+∞）上用单调性与f（x₂）比较；若x₁＞1，则由1＜x₁＜x₂直接用单调性可进行大小比较．

解答：解：因为f（x+1）是偶函数，所以f（-x+1）=f（x+1），则f（x）的图象关于x=1对称，
由（x-1）f′（x）＜0得，x＞1时f′（x）＜0，f（x）单调递减，x＜1时f′（x）＞0，f（x）单调递增，
若x₁≤1，由x₁+x₂＞2，得x₂＞2-x₁≥1，
所以f（x₁）=f（2-x₁）＞f（x₂）；
若x₁＞1，则1＜x₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂），
综上知f（x₁）＞f（x₂），
故选C．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及导数与函数单调性的关系，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力，由所给条件分析出函数的对称性、单调性是解决问题的关键，数形结合是分析本题的有力工具．