Question

6．已知圆C：x²+（y-t）²=t被直线y=3截得的弦长为2$\sqrt{3}$，直线l：y=kx与圆C交于两点M，N．
（1）求圆C的方程；
（2）设O为原点，点P（m，n）在线段MN上，且$\frac{2}{|OP{|}^{2}}$=$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{1}{|ON{|}^{2}}$，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得圆的圆心和半径，运用弦长公式，解方程可得t=4，进而得到圆的方程；
（2）将y=kx代入x²+（y-4）²=4，消去y，可得x的方程，由判别式大于0，可得k的范围；设出M，N的坐标，求得|OM|，|OP|，|ON|的长，运用韦达定理，化简整理，注意k的范围的运用，即可得到所求函数式，进而得到n的范围．

解答 解：（1）x²+（y-t）²=t的圆心为（0，t），半径为r=$\sqrt{t}$，
由弦长公式可得2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{t-（t-3）^{2}}$，解得t=4（3舍去），
圆的方程为x²+（y-4）²=4．
将y=kx代入x²+（y-4）²=4中，
得（1+k²）x²-8kx+12=0．（*）
由△=（-8k）²-4（1+k²）×12＞0，得k²＞3．
所以，k的取值范围是（-∞，-$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）．
（2）因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x₁，kx₁），（x₂，kx₂），
则|OM|²=（1+k²）x₁²，|ON|²=（1+k²）x₂²，
又|OP|²=m²+n²=（1+k²）m²．
由$\frac{2}{|OP{|}^{2}}$=$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{1}{|ON{|}^{2}}$，得$\frac{2}{（1+{k}^{2}）{m}^{2}}$=$\frac{1}{（1+{k}^{2}）{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{（1+{k}^{2}）{{x}_{2}}^{2}}$，
即$\frac{2}{{m}^{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$，
将y=kx代入x²+（y-4）²=4中，
得（1+k²）x²-8kx+12=0．（*）
由△=（-8k）²-4（1+k²）×12＞0，得k²＞3．
x₁+x₂=$\frac{8k}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+{k}^{2}}$，
所以m²=$\frac{36}{5{k}^{2}-3}$．
因为点Q在直线y=kx上，
所以k=$\frac{n}{m}$，代入m²=$\frac{36}{5{k}^{2}-3}$．
中并化简，得5n²-3m²=36．
由m²=$\frac{36}{5{k}^{2}-3}$及k²＞3，可知0＜m²＜3，即m∈（-$\sqrt{3}$，0）∪（0，$\sqrt{3}$）．
根据题意，点P在圆C内，则n＞0，
所以n=$\sqrt{\frac{36+3{m}^{2}}{5}}$．由0＜m²＜3，可得36＜36+3m²＜45，
于是n的取值范围是（$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，3）．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，考查轨迹方程的求法和函数的解析式的求法，注意联立直线方程和圆的方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．