精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知两个正数a、b.则
a+b
2
a2+b2
2
.三个正数a、b、c,则
a+b+c
3
a2+b2+c2
3
;…类比写出n个正数的关系式并加以证明.
分析:本题考查的知识点是类比推理,在两个正数的不等式推理n个正数的关系式时,我们一般的思路有:由两个数算术平均数类比推理为n个正数算术平均数,由两个数平方的平均数类比推理为n个正数数平方的平均数,由算术平均数类比推理为几何平均数等,故我们可以类比上述性质,得到
a 1+a 2+…+a n
n
a 12+a 22+…+a n 2
n
,最后利用数学归纳法证明.
解答:解:对于两个正数a、b.则
a+b
2
a2+b2
2

左式是两个正数的算术平均数,右式是两个数平方的平均数的平方根,
对于三个正数a、b有类似的不等式,
在类比写出n个正数的关系式时,有:
对于n个正数a1、a2,…an.则
a 1+a 2+…+a n
n
a 12+a 22+…+a n 2
n

欲证:
a 1+a 2+…+a n
n
a 12+a 22+…+a n 2
n

只须证明:(a1+a2+…+an2≤n(a12+a22+…+an2
证:①当n=1时显然成立;
②假设当n=k时成立,即(a1+a2+…+ak2≤k(a12+a22+…+ak2
当n=k+1时,:(a1+a2+…+ak+12≤(a1+a2+…+ak+ak+12=(a1+a2+…+ak2+2ak+1(a1+a2+…+ak)+ak+12
≤k(a12+a22+…+ak2)+2a1a k+1+2a2ak+1+…+2aka k+1+ak+12
≤k(a12+a22+…+ak2)+a12+a k+12+a22+ak+12+…+ak2+a k+12+ak+12
≤(k+1)(a12+a22+…+ak2),
即当n=k+1时也成立,
∴n个正数的关系式:
a 1+a 2+…+a n
n
a 12+a 22+…+a n 2
n
成立.
点评:本小题是一道类比推理问题,主要考查创新思维能力.事实上,不等式中的不少定理、结论都可以类比推广到n个正数中去,值得我们进一步去探索和研究.类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知两个正数a,b,可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c,在a,b,c三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.
(1)若a=1,b=3,按上述规则操作三次,扩充所得的数是
255
255

(2)若p>q>0,经过6次操作后扩充所得的数为(q+1)m(p+1)n-1(m,n为正整数),则m,n的值分别为
8,13
8,13

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知两个正数a,b满足a+b=ab,则a+b的最小值为(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知两个正数a,b(a>b)的等差中项为5,等比中项为4,则椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
的离心率e等于(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知两个正数a、b的等差中项为4,则a、b的等比中项的最大值为(  )

查看答案和解析>>

同步练习册答案