考点:数列与不等式的综合
专题:计算题,证明题,等差数列与等比数列,集合,不等式
分析:(1)由题意可知,集合中的元素出现的次数都是相等的,从而确定每个元素出现的次数,从而利用并项求和求数列{a
2n}的通项公式;
(2)由(1)代入b
n=
+(-1)
n+1化简,结合要证明的结论可知,要用到指数函数与幂函数的增长速度的相关知识,故结合形式可知,应用2
n≥n
2;重点是确定在那个地方放缩即可.
解答:
解:(1)若M={-1,2,-3,4,…[(-1)
2n]2n},
则集合M的所有非空子集中,集合M中的任何一个元素出现的次数都是相等的;
考查-1出现的次数,
可看成集合{2,-3,4,…[(-1)
2n]2n}的子集个数,
故共有2
2n-1个-1,
故a
2n=2
2n-1(-1+2-3+4-5+6…-(2n-1)+2n)=n•2
2n-1,
即a
2n=n•2
2n-1.
(2)证明:b
n=
+(-1)
n+1=2
n+(-1)
n+1,
则b
1=2+1=3,b
2=4-1=3,b
3=8+1=9,
b
4=16-1=15,
故当n≥4时,b
n=2
n+(-1)
n+1≥n
2-1;
故
+
+…+
=
+
+
+
+…+
<
+
+
+
+
+
+…+
=
+
+
+
-
+
-
+…+
-
=
+
+
+
+
-
-
<
+
+
+
+
<
.
点评:本题考查了集合的子集,同时考查了数列与不等式,属于难题.