Question

若直线mx+ny=4和圆：x²+y²=4没有公共点，则过点（m，n）直线与椭圆的交点的个数（ ）
A．0 个
B．1个
C．2 个
D．3个

Answer 1

【答案】分析：由直线mx+ny=4和圆x²+y²=4没有公共点，得到点P（m，n）是x²+y²=4圆内的点．进而得到点P是椭圆内的点，由此能求出过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数．
解答：解：∵直线mx+ny=4和圆x²+y²=4没有公共点，
∴原点到直线mx+ny-4=0的距离d=＞2，
解得m²+n²＜4，
∴点P（m，n）是x²+y²=4圆内的点．
∵椭圆的长半轴2，短半轴为 2
∴圆x²+y²=4内切于椭圆，
∴点P是椭圆内的点，
∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2．
故选C．
点评：本题考查直线与椭圆的交点个数的求法，具体涉及到圆的简单性质、点到直线的距离公式、点与圆的位置关系、点与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．