Question

在△ABC中，a，b，C分别是内角A，B，C所对的边，并且sinA=2sinBcosC，a=b=2

5

．
（1）求∠A的值；
（2）若点P为线段AB上一点，且

CA

•

CP

=12，求线段AP的长．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的内角和以及诱导公式、两角和的正弦函数化简sinA=2sinBcosC，推出sin（B-C）=0，然后求出三角形的形状，求出∠A的值．
（2）求出

CP

，利用

CA

•

CP

，直接展开，即可求出线段AP的长．

解答：解：（1）∵sinA=sin[180°-（B+C）]=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
∴cosBsinC=sinBcosC，
sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∴∠B-∠C=0或180°，
∵∠B，∠C是三角形的内角，∴∠B-∠C=0
∴∠B=∠C，
即b=c，
又a=b=2

5

，
∴a=b=c，
三角形是等边三角形，
∴∠A=60°．
（2）∵

CP

=

CA

+

AP

，

CA

•

CP

=12，
∴(

CA

+

AP

)  •

CA

=12
∴

CA

2+

AP

•

CA

=12，
∴|

CA

|2+|

AP

| • |

CA

| cos120°=12，
即(2

5

)2+  |

AP

| •2

5

•(-

1

2

) =12，
整理得|

AP

| =

8 5

5

．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数，三角方程的解法，向量的数量积，注意向量的夹角与向量的关系，考查计算能力．