Question

若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切线”．下列方程：
①x²-y²=1；
②y=x²-|x|；
③y=3sinx+4cosx；
④|x|+1=
对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

Answer 1

【答案】分析：化简函数的解析式，结合函数的图象的特征，判断此函数是否有自公切线．
解答：解：①、x²-y²=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；
②、y=x²-|x|=，在 x= 和 x=- 处的切线都是y=-，故②有自公切线．
③、y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，
此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线．
④、由于|x|+1=，即 x²+2|x|+y²-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．
故答案为 C．
点评：本题考查函数的自公切线的定义，函数图象的特征，准确判断一个函数是否有自公切线，是解题的难点．