Question

如图，在四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA₁=4，AB=2，点E在棱CC₁上，点E是棱C₁C上一点．
（1）求证：无论E在任何位置，都有A₁E⊥BD
（2）试确定点E的位置，使得A₁-BD-E为直二面角，并说明理由．
（3）试确定点E的位置，使得四面体A₁-BDE体积最大．并求出体积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由AA₁⊥底面ABCD，可得AA₁⊥BD，结合菱形的性质可得AC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面AA₁C₁C，进而得到A₁E⊥BD；
（2）由（1）得二面角A₁-BD-E的平面角为∠A₁OE，令CE=x，利用勾股定理，可得x值，进而确定E点的位置；
（3）过E作A₁O的垂线与H，则必有EH⊥平面A₁BD，从而dE-A1BD=EH，所以当EH最大时，四面体A₁-BDE体积最大．所以当E点和C₁重合时体积最大．代入棱锥体积公式，可得答案．

解答：证明：（1）∵AA₁⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴AA₁⊥BD
又∵底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD
又∵AA₁∩AC=A，AA₁，AC?平面AA₁C₁C
∴BD⊥平面AA₁C₁C
又∵A₁E?平面AA₁C₁C
∴A₁E⊥BD…（4分）
解：（2）由（1）得BD⊥平面AA₁C₁C，
∴二面角A₁-BD-E的平面角为∠A₁OE．
令CE=x，则易得A1O=

AA12+AO2

=

19

，OE=

OC2+CE2

=

x2+3

，
A1E=

A1C12+C1E2

=

12+(4-x)2

由A1E2=A1O2+OE2⇒x=

3

4

…（8分）
（3）∵VA1-BDE=VE-A1BD=

1

3

S△A1BD•dE-A1BD
另一方面，∵BD⊥平面AA₁C₁C，
∴平面A₁BD⊥平面AA₁C₁C，
过E作A₁O的垂线与H，则必有EH⊥平面A₁BD，从而dE-A1BD=EH
∴当EH最大时，四面体A₁-BDE体积最大．
∴当E点和C₁重合时体积最大．此时EH=

8 57

19

，…（11分）
从而VA1-BDE=VE-A1BD=

1

3

S△A1BD•dE-A1BD=

8 3

3

…（13分）

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的性质，难度中档．